Un énoncé mathématiques est soit vrai, soit faux.
Lorsqu'on ne sait pas si un énoncé mathématiques est vrai ou faux, on l'appelle proposition.
Si cet énoncé vous semble vrai, on l'appelle conjecture.
Une démonstration est un raisonnement logique et structuré qui permet d'établir qu'une conjecture est vraie.
En mathématique un exemple qui ne vérifie pas une conjecture suffit pour prouver qu'elle est fausse. Cet exemple est appelé contre-exemple.
En mathématique, des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver qu'une conjecture est vraie.
En mathématique, une mesure ou une constatation sur le dessin ne suffisent pas pour prouver qu'une conjecture est vraie
En mathématique, pour démontrer qu'une conjecture est vraie, on s'appuie sur des propriétés, des théorèmes, des définitions, des règles de calculs... clairement énoncés dans le cours.
Le principe de cette démonstration consiste à trouver un exemple qui ne vérifie pas la conjecture.
Exemple: L'énoncé suivant est-il vrai ? "Tous les multiples de 3 se terminent par 0,3,6 ou 9."
Cet énoncé est faux car 13 se termine par 3 mais n'est pas un multiple de 3.
Le principe de cette démonstration consiste à démontrer un énoncé en supposant son contraire.
A partir de cette supposition, on effectue un raisonnement ou des calculs qui vont aboutir à une absurdité.
On peut alors conclure que notre supposition était fausse et que l'énoncé était vrai.
Exemple: Est-ce que la taille d'une personne et son âge sont proportionnels ?
On pense que la taille et l'âge ne sont pas proportionnels. Pour démontrer cette conjecture on va supposer son contraire: "L'âge et la taille sont proportionnels", si un enfant de 4 ans mesure 1 mètre alors à 8 ans il mesurera 2 mètre et à 16 ans 4 mètre ce qui est ABSURDE. Notre supposition est fausse donc l'âge et la taille ne sont pas proportionnels.
Le principe de cette démonstration consiste à lister tous les cas de figure et à les traiter séparément.
Exemple: Démontrer que pour tous les multiples de 9, inférieur ou égaux à 90 la somme de leur chiffre est égale à 9.
Somme:
Cela est vrai pour tous les multiples de 9 jusqu'à 9.
Le principe de cette démonstration consiste à utiliser la contraposée d'une proposition.
Une proposition s'écrit sous la forme: SI CONDITION ALORS CONCLUSION
Sa réciproque s'écrit: SI CONCLUSION ALORS CONDITION
Sa contraposée s'écrit: SI CONTRAIRE CONCLUSION ALORS CONTRAIRE CONDITION
Exemple:
Proposition: Si un quadrilatère est un carré
Alors ses côtés sont égaux
Réciproque: Si un quadrilatère a ses côtés égaux
Alors c'est un carré
Contraposée: Si un quadrilatère n'a pas ses cotés égaux
Alors ce quadrilatère n'est pas un carré.
Attention ! Ne pas confondre contraposée et réciproque!
La réciproque d'une proposition vraie n'est pas toujours vraie, tandis que la contraposée d'une proposition vraie est toujours vraie.
Un "chaînon" est un enchaînement de phrases qui peut se présenter sous la forme suivante:
On sait que: Ce que donne l'énoncé ou ce que j'ai déjà démontré.
Or, ce que j'utilise: définition, propriété, etc...
Donc: je conclus
Une démonstration mathématique par chaînons" est une succession de chaînons qui partent des données du problèmes et qui aboutissent à la conclusion.